O que é o 'problema dos beijos' que atormenta os matemáticos há séculos:nsf cbet ttp

Ele fez a pergunta a seu consultor científiconsf cbet ttpuma viagem à Américansf cbet ttp1585, o ilustre matemático Thomas Harriot, que deu a ele uma solução:

A melhor maneiransf cbet ttparmazenar suas balasnsf cbet ttpcanhão era organizá-lasnsf cbet ttpformansf cbet ttppirâmide.

Em um manuscritonsf cbet ttp1591, Harriot fez para ele uma tabela mostrando como, dado o númeronsf cbet ttpbalasnsf cbet ttpcanhão, alguém poderia calcular quantas colocar na basensf cbet ttpuma pirâmide com uma base triangular, quadrada ou oblonga (alongada).

Mas Harriot continuou pensando sobre o assunto, e levounsf cbet ttpconsideração as implicações para a teoria atômica da matéria, que estavansf cbet ttpvoga na época.

Em uma carta a seu amigo Johannes Kepler, o famoso astrônomo, ele mencionou o problema do armazenamento.

Kepler supôs que a maneira idealnsf cbet ttpminimizar o espaço deixado pelas lacunas entre as esferas era fazer com que os centros das esferasnsf cbet ttpcada camada ficassem acimansf cbet ttponde as esferas da partensf cbet ttpbaixo se "beijavam".

Isso é o que muitas vezes se faz com as frutas nos mercados, por exemplo.

Essa forma, que parece tão intuitivamente óbvia, se revelou extremamente difícilnsf cbet ttpprovar matematicamente.

Embora muitos tenham tentado, incluindo Johann Carl Friedrich Gauss, "o príncipe da matemática", a mesma só foi comprovada quase quatro séculos depois,nsf cbet ttp1998, com o trabalhonsf cbet ttpThomas Hales, da Universidadensf cbet ttpMichigan, nos EUA, e o podernsf cbet ttpum computador.

E nem sequer essa verificação convenceu todos os matemáticos; ainda hoje há quem não a considere digna da conjecturansf cbet ttpKepler — que indica que se empilhamos esferas iguais, a densidade máxima é alcançada com um empilhamento piramidalnsf cbet ttpfaces centradas.

As incógnitas das esferas

Essa não foi a única dornsf cbet ttpcabeça causada por objetos esféricos.

Na verdade, uma ampla categoriansf cbet ttpproblemas matemáticos é chamadansf cbet ttp"problemasnsf cbet ttpempacotamentonsf cbet ttpesferas".

Resolvê-los serviu para desde explorar a estrutura dos cristais até otimizar os sinais enviados por celulares, sondas espaciais e internet.

E assim como Raleigh com suas balasnsf cbet ttpcanhão, as indústriasnsf cbet ttplogística,nsf cbet ttpmatérias-primas e muitas outras dependem fortementensf cbet ttpmétodosnsf cbet ttpotimização fornecidos pela matemática.

Matemáticos descobriram, por exemplo, que esferas empilhadas aleatoriamente tendem a ocupar qualquer espaço com uma densidadensf cbet ttpaproximadamente 64%. Mas se você colocá-las cuidadosamentensf cbet ttpordemnsf cbet ttpmaneiras específicas, poderá chegar a 74%.

Esses 10%nsf cbet ttpdiferença representam uma economia não apenas nos custosnsf cbet ttptransporte, mas também nos danos ao meio ambiente.

Mas aplicações práticas como essa requerem provas matemáticas, e o empacotamentonsf cbet ttpesferas trouxe incógnitas particularmente difíceis, assim como a conjecturansf cbet ttpKepler.

Uma delas surgiunsf cbet ttpuma conversa entre Isaac Newton, um dos maiores cientistasnsf cbet ttptodos os tempos, e David Gregory, o primeiro professor universitário a ensinar as teoriasnsf cbet ttppontansf cbet ttpNewton.

Era um problemansf cbet ttpnúmeronsf cbet ttp"beijos", mas...

O que são?

Imagine que você tem vários círculosnsf cbet ttpcartolina do mesmo tamanho e deseja colá-losnsf cbet ttpum quadro ao redornsf cbet ttpum deles.

O númeronsf cbet ttp"beijos" é igual ao número máximonsf cbet ttpcírculos que você consegue colocar "beijando" — ou tocando — o central.

Simples assim.

Acontece que os matemáticos mostraram que no máximo 6 círculos podem ser colocadosnsf cbet ttptorno do inicial, então o númeronsf cbet ttp"beijos" é 6.

Agora imagine quensf cbet ttpveznsf cbet ttpcírculosnsf cbet ttppapelão, você tem bolasnsf cbet ttpborracha, todas do mesmo tamanho.

Novamente a pergunta é: qual é o número máximonsf cbet ttpbolas que você pode colocar ao redornsf cbet ttpuma no centro?

Ao adicionar essa terceira dimensão — o volume —, a questãonsf cbet ttpespecificar o númeronsf cbet ttp"beijos" se tornou mais complicada.

E foram necessários dois séculos e meio para descomplicá-la.

Newton e Gregory

A questão começou com aquela famosa discussão entre Newton e Gregory, ocorridansf cbet ttp1694 no campus da Universidadensf cbet ttpCambridge, no Reino Unido.

Newton já tinha 51 anos, e Gregory fez uma visitansf cbet ttpvários dias, durante a qual conversaram sem parar sobre ciência.

A conversa foi bastante unilateral, com Gregory anotando tudo o que o grande professor dizia.

Um dos pontos discutidos e registrados no memorandonsf cbet ttpGregory foi quantos planetas giramnsf cbet ttptorno do Sol.

A partir daí, a discussão saiu pela tangente, para a questãonsf cbet ttpquantas esferas do mesmo tamanho podem ser dispostasnsf cbet ttpcamadas concêntricasnsf cbet ttpmodo que toquem uma central.

Gregory afirmou — sem muitos preâmbulos — que a primeira camadansf cbet ttptornonsf cbet ttpuma bola central tinha no máximo 13 esferas.

Para Newton, o númeronsf cbet ttp"beijos" seria 12.

Gregory e Newton nunca chegaram a um acordo e nunca souberam qual era a resposta certa.

Hojensf cbet ttpdia, o fatonsf cbet ttpque o maior númeronsf cbet ttpesferas que pode "beijar" uma central é comumente chamadonsf cbet ttp"númeronsf cbet ttpNewton" revela quem estava certo.

O debate só parounsf cbet ttp1953, quando o matemático alemão Kurt Schütte e o holandês B. L. van der Waerden mostraram que o númeronsf cbet ttp"beijos"nsf cbet ttptrês dimensões era 12 — e apenas 12.

A questão era importante porque um gruponsf cbet ttpesferas empacotadas terá um número médionsf cbet ttp"beijos", o que ajuda a descrever matematicamente a situação.

Mas há questões não resolvidas.

Milharesnsf cbet ttpbeijos

Além das dimensões 1 (intervalos), 2 (círculos) e 3 (esferas), o problema do "beijo" está quase sem resolução.

Há apenas dois outros casosnsf cbet ttpque esse númeronsf cbet ttp"beijos" é conhecido.

Em 2016, a matemática ucraniana Maryna Viazovska estabeleceu que o númeronsf cbet ttpbeijos na dimensão 8 é 240, e na dimensão 24 é 196.560.

Para as outras dimensões, os matemáticos foram reduzindo lentamente as possibilidades a faixas estreitas.

Para dimensões maiores que 24, ou uma teoria geral, o problema estánsf cbet ttpaberto.

Há vários obstáculos para uma solução completa, incluindo limitações computacionais, mas a expectativa énsf cbet ttpque haja um avanço importante nesse problema nos próximos anos.

De que adianta, no entanto, empacotar esferasnsf cbet ttpdimensão 8, por exemplo?

O topólogo algébrico Jaume Aguadé respondeu a essa perguntansf cbet ttpum artigonsf cbet ttp1991 intitulado "Cem anosnsf cbet ttpE8".

"É usado para fazer chamadas telefônicas, ouvir Mozartnsf cbet ttpum CD, enviar um fax, assistir à televisão via satélite, conectar-se, por meionsf cbet ttpum modem, a uma redensf cbet ttpcomputadores."

"Serve para todos os processosnsf cbet ttpque é necessária a transmissão eficientensf cbet ttpinformações digitais."

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