O problema matemático que intrigava Napoleão e que se aplicablaze jogo do dadoIA e no carreto dablaze jogo do dadomudança:blaze jogo do dado

É o que afirma no artigo Napoléon Bonaparte and Science o destacado matemático francês Étienne Ghys, pesquisador emérito do Centro Nacional Francêsblaze jogo do dadoPesquisa Científica. O imperador conquistou o apoioblaze jogo do dadograndes cientistas, como o matemático Gaspard Monge, considerado o inventor da geometria descritiva e pai da geometria diferencial.

Monge acompanhou Napoleão na campanha no Egito, que “terminou com uma derrota militar, mas com notável êxito científico”, escreveu Ghys.

“Já se tinha visto alguma vez na história um exércitoblaze jogo do dadoinvasores acompanhado por matemáticos, naturalistas, arqueólogos e filólogos?”

De volta a Paris,blaze jogo do dado1799, Napoleão deu o golpeblaze jogo do dadoestado que o levaria ao poder absoluto na França.

Sob ablaze jogo do dadoproteção, que incluía incentivos financeiros, prêmios e cargosblaze jogo do dadoalta hierarquia para cientistas, a ciência francesa viveu um período verdadeiramente glorioso.

A questão matemática do "transporte ótimo"

A questão matemática do "transporte ótimo" visa encontrar a maneira mais eficiente e econômicablaze jogo do dadodeslocar objetosblaze jogo do dadoum lugar para outro.

Sua origem remonta ao final do século XVIII, à época da Revolução Francesa.

O problema foi formuladoblaze jogo do dado1781 pelo matemático Gaspard Monge, que percebeu a aplicação no campo militar para saber qual a melhor maneirablaze jogo do dadoconstruir fortificações.

Ele viveu num períodoblaze jogo do dadoque a Europa estava abalada por conflitos bélicos.

Foi com a ascensãoblaze jogo do dadoNapoleão ao poder que Monge conseguiu se dedicar totalmente à questão que o intrigava.

Como grande estrategista, o general foi também um divulgador da ciência aplicada à guerra.

Ele precisava urgentementeblaze jogo do dadouma resposta sobre as fortificações; não queria perder tempo, recursos ou mãoblaze jogo do dadoobrablaze jogo do dadosuas campanhas.

Então Monge, que já era um conhecido matemático e amigoblaze jogo do dadoNapoleão, viu-se no momento e no lugar perfeitos para continuar a se aprofundar no problema.

Complexidade

Em termos práticos, Monge, tal como Napoleão, queria saber onde construir fortificações para minimizar custos. Mas havia mais.

“Como cientista, Monge também estava interessado na questão teórica que estava por trás: como funciona o transporte ótimoblaze jogo do dadoteoria?”, diz Alessio Figalli, professor da prestigiada Escola Politécnica Federalblaze jogo do dadoZurique.

Figalli, que conquistou reconhecimentos por suas contribuições no campo da matemática, ganhou a Medalha Fieldsblaze jogo do dado2018, aos 34 anos, considerado o Prêmio Nobelblaze jogo do dadomatemática.

O transporte ótimo é justamente um dos conceitosblaze jogo do dadoque Figalli concentrou seu trabalho.

“Monge começou a entender o problema a partirblaze jogo do dadouma perspectiva geométrica e, para isso, fez muitos desenhos”, explica.

Imaginemos que temos duas cidades, A e B, e queremos construir uma fortificaçãoblaze jogo do dadocada.

Se o objetivo é minimizar o transporteblaze jogo do dadomateriais, é lógico que retiremos o que vamos precisar para a construçãoblaze jogo do dadoAblaze jogo do dadoum local próximo a A, eblaze jogo do dadoum local próximoblaze jogo do dadoB para o que vamos construirblaze jogo do dadoB.

Não faria muito sentido extraí-los e enviá-losblaze jogo do dadooutras partes mais distantes do país sem ser necessário.

“Se você só tem duas cidades e dois locaisblaze jogo do dadoextração, é muito fácil ver a solução: basta enviar o material do local mais próximo que houver”, diz Figalli, mas alerta:

“Se você começar a ter mais cidades e mais locaisblaze jogo do dadoextração, o problema se torna muito maior e entender o que enviar e para onde pode não ser tão óbvio.”

“Talvez a quantidadeblaze jogo do dadomaterial que extraioblaze jogo do dadoum local não seja suficiente para todas as fortificações que tenho que construir naquela área e tereiblaze jogo do dadotrazer materialblaze jogo do dadoum local mais distante.”

“E se você começar a pensarblaze jogo do dadonúmeros maiores, por exemplo, 10 mil cidades e 200 pontosblaze jogo do dadoextração, o problema fica mais complexo. Procure saber se existe uma teoria matemática geral que você possa usar.”

Um olhar econômico

Monge realizou análises muito interessantes e avançou no problema.

Mas Figalli pede que lembremos que no século XIX não existiam matemáticos profissionais no sentido moderno: os cientistas faziam matemática e muitas outras coisas.

Além disso, foi um períodoblaze jogo do dadoque se deu prioridade a outras teorias matemáticas.

Foi assim que o problema do transporte ótimo caiu um pouco no esquecimento: “depoisblaze jogo do dadoMonge, por maisblaze jogo do dadocem anos não aconteceu muita coisa”.

Foi na décadablaze jogo do dado40 do século XX que um matemático e economista soviético resgatou a questão.

“Leonid Kantorovich realmente entendeu como atacar o problema”, diz o professor.

“Ele desenvolveu uma teoria matemática robusta para estudá-lo e, a partir disso, desenvolveu uma teoria econômica muito sólida que se poderia usar para resolver problemas muito concretos. Por exemplo, como as padarias poderiam planejar a melhor formablaze jogo do dadoenviar seus pães para os diferentes estabelecimentos da cidade.”

Em 1975, Kantorovich recebeu o Prêmio Nobelblaze jogo do dadoEconomia, juntamente com o holandês Tjalling C. Koopmans, pelo trabalho no campo da teoria econômica normativa, que é a teoria da alocação ótimablaze jogo do dadorecursos.

Existem muitos problemas que podem ser resolvidos com o conceitoblaze jogo do dadotransporte ótimo.

“Pense no trajeto para o trabalho, que as pessoas fazem todos os dias. Qual a maneira mais eficienteblaze jogo do dadoser feito?”, pergunta o especialista.

“Um dos motivos que torna esse problema difícil é que não se tratablaze jogo do dadoum ganho pessoal, mas coletivo: não é que se queira minimizar o tempo que você gasta no deslocamento para o trabalho, o que se busca é minimizar o tempo totalblaze jogo do dadodeslocamento para o trabalhoblaze jogo do dadotodas as cidades.”

“Isso pode significar que será preciso viajar um pouco mais, mas se pensarmos no bem-estar geral da população, a solução será a melhor possível.”

Nos fluidos

Na décadablaze jogo do dado1980, o problema tomou um rumo inesperado.

O matemático francês Yann Brenier percebeu que o conceitoblaze jogo do dadotransporte ótimo poderia ser usado no estudoblaze jogo do dadofluidos.

“Foi mágico”, diz Figalli. “Ninguém esperava.”

“Brenier estava estudando o movimento da água, problemas relacionados à dinâmica dos fluidos, que é um campo da matemática e também da engenhariablaze jogo do dadoque você tenta entender como a água é transportada, como ela se comportablaze jogo do dadouma tubulação,blaze jogo do dadoum recipiente, mas tambémblaze jogo do dadosituaçõesblaze jogo do dadofenômenos físicos complexos, como um furacão.”

“Não é que Brenier tenha repentinamente feito uma nova descobertablaze jogo do dadodinâmicablaze jogo do dadofluidos, o que foi surpreendente foi que ele fez a ligação com o conceitoblaze jogo do dadotransporte ótimo. As pessoas perceberam que esse problema era mais rico do que parecia.”

“E os matemáticos adoram isso, fazer conexões entre problemas.”

Surgiu uma espécieblaze jogo do dadorenascimento do problema e na décadablaze jogo do dado90 houve um boom. “Foi como se tivesse virado moda, ficou super cool.”

“Os matemáticos são animais sociais. Embora exista a lendablaze jogo do dadoque ficamosblaze jogo do dadonossas cavernas trabalhando sozinhos, na realidade a matemática é uma atividade muito socialblaze jogo do dadoque a trocablaze jogo do dadoideias é constante.”

Na moda

O início dos anos 2000 foi a épocablaze jogo do dadoouro do problema, diz o professor.

Ele era um estudante muito jovem na Scuola Normale di Pisa e também se interessou por transporte ótimo. Ele finalmente foi conquistado quando estava no último ano do mestrado. No ano seguinte (em apenas um ano) obteria o doutorado.

“Esse problema é muito complexo. São tantas variáveis, possibilidades, que é preciso construir uma nova teoria. O que foi feito até agora não é suficiente para resolvê-lo e essa é a beleza: esse problema obriga a desenvolver novas matemáticas.”

Você tem uma resposta final?, pergunto.

“Na matemática nunca há uma resposta final”, responde ele. “Num problema como este há sempre coisas novas; não é que esteja sozinho, isolado, este é um problema macro.”

E me convida a pensar no sangue que circula pelo meu corpo como um fenômenoblaze jogo do dadotransporte.

“Você está interessadoblaze jogo do dadofortificações? Você está interessadoblaze jogo do dadosangue? Dependendo do problema, existem respostas diferentes.”

É assim que entendo o que ele quer dizer quando afirma que “nunca há uma resposta final”: embora possa haver soluções para contextos específicos e necessidades concretas, não será a resposta definitiva para tudo o que o conceitoblaze jogo do dadotransporte ótimo pode implicar.

E suas aplicações parecem tão vastas quanto o próprio céu.

Entre nuvens

E assim, sem ir muito longe, Figalli me conta sobre as aplicações na meteorologia.

“Do pontoblaze jogo do dadovista teórico, o movimento das nuvens pode ser entendido como um problemablaze jogo do dadotransporte ótimo: as nuvens são feitasblaze jogo do dadopartículasblaze jogo do dadoágua que se movem à medida que elas o fazem.”

As técnicas que foram desenvolvidas no estudo do transporte ótimo podem ajudar a analisar a evolução das nuvens.

“Como fazer a ligação entre essas pequenas partículasblaze jogo do dadoágua que se movem com essas grandes nuvens? Como deduzir a pressão, a velocidade com que viajam? Como você conecta esta descrição microscópica com esta descrição macroscópica? Como você pode traçar a rota? Essa é uma questão matemática.”

E há um princípio básico: “A natureza quer ser eficiente: gastar o mínimoblaze jogo do dadoenergia para fazer o que temblaze jogo do dadofazer e, por essa razão, o transporte ótimo e a natureza funcionam bem juntos”.

Mas também funciona bemblaze jogo do dadooutros contextos. Pensemosblaze jogo do dadotecnologia:blaze jogo do dadovezblaze jogo do dadopartículasblaze jogo do dadoágua, imagine pixels, e,blaze jogo do dadovezblaze jogo do dadonuvens, penseblaze jogo do dadofotos.

Nos computadores

No aprendizadoblaze jogo do dadomáquina, ramo da inteligência artificial, o objetivo é treinar programasblaze jogo do dadocomputador para executar tarefas específicas. Uma delas é o reconhecimentoblaze jogo do dadoimagens.

Imagine que no seu computador você tem uma coleçãoblaze jogo do dadofotosblaze jogo do dadoanimais – há cachorros, gatos, elefantes, vacas – e recebe uma nova imagemblaze jogo do dadoum animal que você não sabe o que é.

“Preciso comparar imagens, como posso fazer isso? O transporte ótimo pode fazer isso por você”, diz Figalli.

“Quero transportar os pixels, ou o que compõe aquela nova foto, para outra imagem e ver quanto custa esse processo. Se for muito pouco é porque a imagemblaze jogo do dadoquestão é semelhante àblaze jogo do dadoreferência. É muito provável que a minha foto sejablaze jogo do dadoum cachorro, porque é muito parecida com a que já existeblaze jogo do dadoum cachorro.”

“Mas se o transporte custa muito, significa que a imagem era muito diferente da imagemblaze jogo do dadoum cachorro. Portanto, deve representar algo diferente.”

“O metaprincípio é que o transporte ótimo é uma maneira muito boablaze jogo do dadocomparar imagens, objetos e, uma vez feito isso, pode ser usado para treinar uma redeblaze jogo do dadointeligência artificial.”

E voltamos ao ponto da beleza.

“Você vê?”, o professor me diz com um sorriso.

“A matemática não se importa se o que você transporta é um objeto concreto ou abstrato. Pode ser materialblaze jogo do dadoconstrução, pão, pessoas indo trabalhar, uma imagem, um pixel. É sempre um objeto a partir do qual tiramos modelos, fazemos fórmulas, vira abstrato e você faz o que quiser. Você sempre tem novas aplicações.”

Nablaze jogo do dadovida

É assim que o problema cuja formulação remonta ao século XVIII está presenteblaze jogo do dadonossas vidas.

Pense por um momentoblaze jogo do dadoquando você se muda, diz Matteo Bonforte, professor da Universidade Autônomablaze jogo do dadoMadrid e membro do Institutoblaze jogo do dadoCiências Matemáticas da Espanha.

“Você tem que mudar as coisasblaze jogo do dadouma casa para outra e tem uma van ou um caminhão. Como colocar os seus pertences no caminhão da melhor forma, para que custe o mínimo possível: menos viagens, menos esforço para os encarregados?”

Para Bonforte, é fundamental continuar investigando problemas como o transporte ótimo.

“Alessio Figalli é uma dessas mentes maravilhosas das quais existe uma por geração.”

“É muito importante que matemáticos da primeira fila como ele, os top-top-top, dediquem-se a esses problemas, porque eles conseguem ver coisas que ‘os mortais comuns não vêem’, criam conexões entre coisas que parecem muito diferentes, mas que, com as lentes apropriadas, no fim, observa-se que o mecanismo subjacente, o princípio básico, é o mesmo e os une.”

Ele destaca que Figalli tem conseguido resolver problemas que estavamblaze jogo do dadoaberto há muitos anos, o que faz com que a teoria desenvolvida seja aplicável a “problemas da vida real”.

“É fundamental que essas grandes figuras da matemática lidem com esses problemas porque eles também dão um impulso a toda a comunidade: muitos pesquisadores ‘entram na onda’, o problema vira ‘moda’ e isso gera um avanço no conhecimento espetacular, sempre pelo motivoblaze jogo do dadosermos animais sociais.”