4 problemas matemáticos da Antiguidade que demonstram que o impossível era possível:site de apostas crash

O que se sabe é que foram os antigos gregos que apresentaram esses problemas com precisão,site de apostas crashtermos matemáticos.

Resumidamente, os objetivos desses problemas eram encontrar:

• a quadratura do círculo

• a trissecção do ângulo

• a duplicação do cubo

• a inscriçãosite de apostas crashtodos os polígonos regularessite de apostas crashum círculo

Expressos desta forma, podem parecer confusos, mas, na verdade, o que está sendo pedido é:

• desenhar um quadrado cuja área seja a mesmasite de apostas crashum círculo dado

• dividir um ângulosite de apostas crashtrês ângulos iguais

• desenhar um cubo que tenha o dobro do tamanhosite de apostas crashoutro

• dividir um círculosite de apostas crashpartes iguais

Assim está mais claro, não?

Mas, como disse o escritor americano Donald Westlake (1933-2008), "sempre que algo parece fácil, é porque existe uma parte que você não ouviu". Ou, neste caso, que nós não dissemos.

Você só pode resolver estes problemas no estilo usado na Grécia antiga. Ou seja, alémsite de apostas crashalgo para traçar um desenho, algo onde desenhar e dasite de apostas crashmente, você só pode usar um compasso e uma régua sem marcações.

Por quê?

"Esta é uma boa pergunta. E há várias respostas", afirmou à BBC News Mundo (o serviçosite de apostas crashespanhol da BBC) o matemático David Richeson, autor do livro Tales of Impossibility ("Contossite de apostas crashimpossibilidade",site de apostas crashtradução livre).

"Uma resposta é que o compasso e a régua são registrados muito claramente nos postulados do livro fundamentalsite de apostas crashmatemática Os Elementossite de apostas crashEuclides [cercasite de apostas crash300 a.C.]", explica ele.

"Outra é que eles representam as ferramentas mais básicas que sempre foram usadas. Com uma corda, você pode traçar uma linha reta e, se fixar uma das extremidades ao solo, com a outra pode desenhar um círculo."

"Mas também porsite de apostas crashsimplicidade e elegância", afirma o matemático. "Para mim, o surpreendente não é tanto o que não se pode fazer, mas tudo o que se pode fazer com estas ferramentas."

Você pode, por exemplo, bissectar um ângulo (dividi-losite de apostas crashdois ângulos iguais) com facilidade.

(1) Apoie o compasso no vértice do ângulo e desenhe um arco. (2) Apoie o compassosite de apostas crashum dos pontossite de apostas crashintersecção do arco com as linhas e desenhe um arco. (3) Faça o mesmo no outro pontosite de apostas crashintersecção. (4) Trace uma linha entre o vértice do ângulo e o pontosite de apostas crashintersecção dos dois arcos.

"A bissecçãosite de apostas crashum ângulo é algo que aprendemos na aulasite de apostas crashgeometria na escola. É muito simples", destaca Richeson. "Mas a pergunta que interessava aos gregos é: se você tiver um ângulo, poderia dividi-losite de apostas crashtrês partes iguais?"

"A resposta é: às vezes, sim, mas não existe uma regra geral para isso."

O matemático prossegue: "Isso não quer dizer que estes problemas sejam insolúveis, independentemente das ferramentas que você utilizar. Mas, com as ferramentas euclidianas clássicas, é impossível resolvê-los."

Arquimedes, um dos maiores matemáticos da história, demonstrou que, se a régua tiver apenas duas marcas, é possível medir exatamente uma distância, o que seria suficiente para proceder à trissecçãosite de apostas crashqualquer ângulo, segundo Richeson. "Ou seja, se as suas ferramentas fossem um pouquinho mais sofisticadas, estes problemas poderiam ser solucionados."

Mas, assim, não vale. O desafio é resolver os problemas respeitando as regras do jogo, o que é irresistível para mentes brilhantes...

...muito brilhantes

O primeiro matemático conhecido por tentar atingir a quadratura do círculo foi Anaxágoras, famoso por ter sido o primeiro a introduzir a filosofiasite de apostas crashAtenas, na Grécia, no século 5° a.C.

Anaxágoras foi preso por afirmar que o Sol não é um deus, mas uma rocha que ardesite de apostas crashvermelho vivo, e que a Lua refletesite de apostas crashluz, segundo conta o historiador Plutarco (46-120 d.C.).

Ele passou seu tempo na prisão tentando construir, apenas com régua e compasso, um quadrado com a mesma áreasite de apostas crashum círculo. Mas seus esforços foramsite de apostas crashvão.

Seu contemporâneo Hipócratessite de apostas crashQuio, um dos matemáticos cuja obra foi sintetizada na geometria euclidiana, conseguiu uma solução parcial alentadora: a lúnulasite de apostas crashHipócrates, a primeira quadraturasite de apostas crashuma figura curvilínea da história.

Seriam necessários 23 séculos para que o grande matemático e físico suíço Leonhard Euler (1707-1783) encontrasse dois novos tipossite de apostas crashlúnulas que podiam ser transformadassite de apostas crashquadrados,site de apostas crash1771. Massite de apostas crashdescoberta não contribuiria para a quadratura do círculo, como se chegou a pensar.

Este é apenas o princípiosite de apostas crashuma longa listasite de apostas crashmatemáticos, amadores ou não, que tentaram atingir este objetivo, armados apenas com as duas ferramentas.

"Leonardo da Vinci [1452-1519] passou um período realmente fascinado pela matemática e pela geometria e tentou resolver estes problemas, mas também incorporou seu talento artístico para criar desenhos com eles", destaca Richeson.

E da Vinci não foi o único renascentista a tentar resolver os problemas clássicos. O artista mais famoso do Renascimento alemão, Albrecht Dürer (1471-1528), foi outro dos matemáticos mais importantes daquela época.

No segundo volume dasite de apostas crashobra Os Quatro Livros da Medida, Dürer forneceu métodos aproximados para atingir a quadratura do círculo, utilizando construções com régua e compasso. E também forneceu um método para obter,site de apostas crashforma bastante aproximada, a trissecção do ângulo com ferramentas euclidianas.

Para Richeson, uma das histórias mais fascinantes fala sobre a construçãosite de apostas crashpolígonos regulares – ou seja, a divisão do círculosite de apostas crashpartes iguais.

"Este sempre foi um problema notoriamente complicado", ele conta. "Sabia-se fazer vários deles, mas não todos. Alguns, como os polígonos com 7, 9 e 17 lados, eram desconhecidos e, por muitos anos, as pessoas se perguntavam se seriam impossíveis."

Desde o tempo da Grécia clássica até o final do século 18, não houve progressos significativos usando apenas as ferramentas euclidianas. Até que surgiu o prodígio matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

"Em 1796, Gauss era apenas um adolescente, mas acabou sendo um dos matemáticos mais famosos da história. Ele demonstrou que é possível construir um polígono regular com 17 lados."

"Foi umasite de apostas crashsuas primeiras descobertas – algo que era impossível para geraçõessite de apostas crashmatemáticos", conta Richeson.

É preciso também tersite de apostas crashmente que, como estes problemas são teóricos e não práticos, as provas dasite de apostas crashresolução são mais importantes do que a resoluçãosite de apostas crashsi. E a profunda análise feita por Gauss para comprovarsite de apostas crashdescoberta abriu as portas para ideias posteriores sobre a chamada teoriasite de apostas crashGalois.

Por isso, se você se perguntava qual o benefíciosite de apostas crashtantas mentes brilhantes terem se esforçado tanto, tentando conseguir algo que,site de apostas crashvários casos, poderia ser atingido com outras ferramentas, este é um exemplosite de apostas crashprocessosite de apostas crashretroalimentação que gerou muitos outros conhecimentos.

"Tentar resolver estes problemas realmente impulsionou a matemática, mas também, à medida que a matemática se desenvolvia, as pessoas retornavam aos problemas antigos e verificavam se as novas descobertas ajudavam a resolvê-los", explica o especialista. "Foi uma espéciesite de apostas crashida e volta ao longo dos séculos."

Mas nem tudo é possível

Tentar solucionar estes problemas contribuiu para o progresso da matemática, mas a demonstração dasite de apostas crashimpossibilidade dependia desses avanços.

"Foi preciso esperar pela invenção da geometria analítica, da álgebra, do cálculo, dos números complexos, a compreensão profunda do número π e até um pouco da teoria dos números", afirma Richeson, "e esta foi parte da razão por que demorou tanto tempo."

No caso da quadratura do círculo, por exemplo, "o tirosite de apostas crashmisericórdia ocorreu quando se descobriu que π é um número transcendental".

Após séculossite de apostas crashuma obsessão que chegou a receber um nome na Grécia antiga – tetragonidzein, ou ocupar-se com a quadratura do círculo –, a busca chegou ao fim.

A quadratura do círculo não foi apenas uma ambição dos luminares mais ou menos célebres, que trouxeram avanços ao conhecimento com seus esforços. Milharessite de apostas crashpessoas, ao longo dos anos, sofreram do que o matemático britânico Augustus De Morgan (1806-1871) chamousite de apostas crashmorbus cyclometricus – a doença da quadratura do círculo que, segundo ele, afetava os entusiastas mal informados.

Uma dessas pessoas foi o contador e matemático amador argentino Elías O'Donnell. Em 1870, ele publicou um livro com "a mais íntima consciênciasite de apostas crashque, neste tratado, é demonstrada, da forma mais convincente e rigorosa, a desejada resolução exata da quadratura do círculo", segundo declarado pelo autor, logo na primeira página da obra.

"E, por mais grave que pareça esta afirmação, ela será verdadeira para todos os séculos da posteridade."

Mas, desde 1801, já se sabia, graças a Gauss, que π (a área do círculo com raio 1) é transcendente e, por isso, a quadratura do círculo é impossível.

Em 1882, outro matemático alemão, Ferdinand Von Lindemann (1852-1939), demonstrou que,site de apostas crashfato, π é um número transcendental.

E, 45 anos antes, o matemático francês Pierre Wantzel (1814-1848) havia comprovado,site de apostas crashuma das sete páginassite de apostas crashum artigosite de apostas crashsua autoria, que os outros três problemas também são insolúveis.

Tudo isso é assombroso, pois comprovar que algo é impossível é imensamente difícil... e importante.

"Geralmente, quando pensamos que algo é impossível, acreditamos que seja muito difícil, que pode levar muito tempo ou algo assim", explica Richeson. "Mas, quando um matemático demonstra que algo é impossível, isso significa que, do pontosite de apostas crashvista lógico, aquilo não pode acontecer: não existe formasite de apostas crashproceder à trissecçãosite de apostas crashum ângulo geral. Não há formasite de apostas crashfazer a quadratura do círculo."

"Não se trata apenassite de apostas crash'não somos suficientemente inteligentes', 'não nos esforçamos o suficiente' ou 'precisamossite de apostas crashmais tempo. É: 'paramos por aqui: é impossível'."

"Existem diversos teoremassite de apostas crashimpossibilidade famosos na matemática e todos são muito venerados porque foi demonstrada a negação: que algo não pode acontecer", prossegue o matemático. "E este é um sucesso incrível."

Mas isso não significa que as pessoas se deem por vencidas.

Em 1897, por exemplo, o Senadosite de apostas crashIndiana, nos Estados Unidos, discutiu um projetosite de apostas crashlei para legalizar um métodosite de apostas crashquadratura do círculo descoberto pelo médico e matemático amador Edwin L. Goodwin.

A lei procurava "introduzir uma nova verdade matemática". Ela foi inicialmente aceita por um comitê, até que foi finalmente rejeitada.

Conta-se que não existe matemático que não tenha recebido por e-mail soluções sobre a quadratura do círculo, duplicaçãosite de apostas crashcubos ou trissecçãosite de apostas crashângulos,site de apostas crashpessoas convencidassite de apostas crashterem encontrado a solução.

"Elas insistem por não entenderem o significadosite de apostas crash'impossível'", explica Richeson. E também porque as supostas soluções "são fáceissite de apostas crashdescrever e brincar com elas". Por isso, eles tentam, acreditam ter resolvido "e enviam as soluções para os matemáticos das universidades".

"Com certeza, haverá um errosite de apostas crashalguma parte, seja ele matemático ou com as regras. De forma que, talvez, elas tenham encontrado uma formasite de apostas crashresolver algum desses problemas, mas não usando as regras clássicas."

Euclides construiu todo um arcabouçosite de apostas crashsabedoria e possibilitou a criaçãosite de apostas crashnovas ideias, pois seus contemporâneos e as gerações seguintes continuaram tentando impulsionar o conhecimento, valendo-se apenassite de apostas crashrégua e compasso.

No caso destes quatro problemas, talvez se suspeitasse desde a Grécia antiga que asite de apostas crashsolução seria impossível. Mas tentar resolvê-los foi muito enriquecedor.