O problema matemático que intrigava Napoleão e que se aplicabet7 com appIA e no carreto dabet7 com appmudança:bet7 com app

É o que afirma no artigo Napoléon Bonaparte and Science o destacado matemático francês Étienne Ghys, pesquisador emérito do Centro Nacional Francêsbet7 com appPesquisa Científica. O imperador conquistou o apoiobet7 com appgrandes cientistas, como o matemático Gaspard Monge, considerado o inventor da geometria descritiva e pai da geometria diferencial.

Monge acompanhou Napoleão na campanha no Egito, que “terminou com uma derrota militar, mas com notável êxito científico”, escreveu Ghys.

“Já se tinha visto alguma vez na história um exércitobet7 com appinvasores acompanhado por matemáticos, naturalistas, arqueólogos e filólogos?”

De volta a Paris,bet7 com app1799, Napoleão deu o golpebet7 com appestado que o levaria ao poder absoluto na França.

Sob abet7 com appproteção, que incluía incentivos financeiros, prêmios e cargosbet7 com appalta hierarquia para cientistas, a ciência francesa viveu um período verdadeiramente glorioso.

A questão matemática do "transporte ótimo"

A questão matemática do "transporte ótimo" visa encontrar a maneira mais eficiente e econômicabet7 com appdeslocar objetosbet7 com appum lugar para outro.

Sua origem remonta ao final do século XVIII, à época da Revolução Francesa.

O problema foi formuladobet7 com app1781 pelo matemático Gaspard Monge, que percebeu a aplicação no campo militar para saber qual a melhor maneirabet7 com appconstruir fortificações.

Ele viveu num períodobet7 com appque a Europa estava abalada por conflitos bélicos.

Foi com a ascensãobet7 com appNapoleão ao poder que Monge conseguiu se dedicar totalmente à questão que o intrigava.

Como grande estrategista, o general foi também um divulgador da ciência aplicada à guerra.

Ele precisava urgentementebet7 com appuma resposta sobre as fortificações; não queria perder tempo, recursos ou mãobet7 com appobrabet7 com appsuas campanhas.

Então Monge, que já era um conhecido matemático e amigobet7 com appNapoleão, viu-se no momento e no lugar perfeitos para continuar a se aprofundar no problema.

Complexidade

Em termos práticos, Monge, tal como Napoleão, queria saber onde construir fortificações para minimizar custos. Mas havia mais.

“Como cientista, Monge também estava interessado na questão teórica que estava por trás: como funciona o transporte ótimobet7 com appteoria?”, diz Alessio Figalli, professor da prestigiada Escola Politécnica Federalbet7 com appZurique.

Figalli, que conquistou reconhecimentos por suas contribuições no campo da matemática, ganhou a Medalha Fieldsbet7 com app2018, aos 34 anos, considerado o Prêmio Nobelbet7 com appmatemática.

O transporte ótimo é justamente um dos conceitosbet7 com appque Figalli concentrou seu trabalho.

“Monge começou a entender o problema a partirbet7 com appuma perspectiva geométrica e, para isso, fez muitos desenhos”, explica.

Imaginemos que temos duas cidades, A e B, e queremos construir uma fortificaçãobet7 com appcada.

Se o objetivo é minimizar o transportebet7 com appmateriais, é lógico que retiremos o que vamos precisar para a construçãobet7 com appAbet7 com appum local próximo a A, ebet7 com appum local próximobet7 com appB para o que vamos construirbet7 com appB.

Não faria muito sentido extraí-los e enviá-losbet7 com appoutras partes mais distantes do país sem ser necessário.

“Se você só tem duas cidades e dois locaisbet7 com appextração, é muito fácil ver a solução: basta enviar o material do local mais próximo que houver”, diz Figalli, mas alerta:

“Se você começar a ter mais cidades e mais locaisbet7 com appextração, o problema se torna muito maior e entender o que enviar e para onde pode não ser tão óbvio.”

“Talvez a quantidadebet7 com appmaterial que extraiobet7 com appum local não seja suficiente para todas as fortificações que tenho que construir naquela área e tereibet7 com apptrazer materialbet7 com appum local mais distante.”

“E se você começar a pensarbet7 com appnúmeros maiores, por exemplo, 10 mil cidades e 200 pontosbet7 com appextração, o problema fica mais complexo. Procure saber se existe uma teoria matemática geral que você possa usar.”

Um olhar econômico

Monge realizou análises muito interessantes e avançou no problema.

Mas Figalli pede que lembremos que no século XIX não existiam matemáticos profissionais no sentido moderno: os cientistas faziam matemática e muitas outras coisas.

Além disso, foi um períodobet7 com appque se deu prioridade a outras teorias matemáticas.

Foi assim que o problema do transporte ótimo caiu um pouco no esquecimento: “depoisbet7 com appMonge, por maisbet7 com appcem anos não aconteceu muita coisa”.

Foi na décadabet7 com app40 do século XX que um matemático e economista soviético resgatou a questão.

“Leonid Kantorovich realmente entendeu como atacar o problema”, diz o professor.

“Ele desenvolveu uma teoria matemática robusta para estudá-lo e, a partir disso, desenvolveu uma teoria econômica muito sólida que se poderia usar para resolver problemas muito concretos. Por exemplo, como as padarias poderiam planejar a melhor formabet7 com appenviar seus pães para os diferentes estabelecimentos da cidade.”

Em 1975, Kantorovich recebeu o Prêmio Nobelbet7 com appEconomia, juntamente com o holandês Tjalling C. Koopmans, pelo trabalho no campo da teoria econômica normativa, que é a teoria da alocação ótimabet7 com apprecursos.

Existem muitos problemas que podem ser resolvidos com o conceitobet7 com apptransporte ótimo.

“Pense no trajeto para o trabalho, que as pessoas fazem todos os dias. Qual a maneira mais eficientebet7 com appser feito?”, pergunta o especialista.

“Um dos motivos que torna esse problema difícil é que não se tratabet7 com appum ganho pessoal, mas coletivo: não é que se queira minimizar o tempo que você gasta no deslocamento para o trabalho, o que se busca é minimizar o tempo totalbet7 com appdeslocamento para o trabalhobet7 com apptodas as cidades.”

“Isso pode significar que será preciso viajar um pouco mais, mas se pensarmos no bem-estar geral da população, a solução será a melhor possível.”

Nos fluidos

Na décadabet7 com app1980, o problema tomou um rumo inesperado.

O matemático francês Yann Brenier percebeu que o conceitobet7 com apptransporte ótimo poderia ser usado no estudobet7 com appfluidos.

“Foi mágico”, diz Figalli. “Ninguém esperava.”

“Brenier estava estudando o movimento da água, problemas relacionados à dinâmica dos fluidos, que é um campo da matemática e também da engenhariabet7 com appque você tenta entender como a água é transportada, como ela se comportabet7 com appuma tubulação,bet7 com appum recipiente, mas tambémbet7 com appsituaçõesbet7 com appfenômenos físicos complexos, como um furacão.”

“Não é que Brenier tenha repentinamente feito uma nova descobertabet7 com appdinâmicabet7 com appfluidos, o que foi surpreendente foi que ele fez a ligação com o conceitobet7 com apptransporte ótimo. As pessoas perceberam que esse problema era mais rico do que parecia.”

“E os matemáticos adoram isso, fazer conexões entre problemas.”

Surgiu uma espéciebet7 com apprenascimento do problema e na décadabet7 com app90 houve um boom. “Foi como se tivesse virado moda, ficou super cool.”

“Os matemáticos são animais sociais. Embora exista a lendabet7 com appque ficamosbet7 com appnossas cavernas trabalhando sozinhos, na realidade a matemática é uma atividade muito socialbet7 com appque a trocabet7 com appideias é constante.”

Na moda

O início dos anos 2000 foi a épocabet7 com appouro do problema, diz o professor.

Ele era um estudante muito jovem na Scuola Normale di Pisa e também se interessou por transporte ótimo. Ele finalmente foi conquistado quando estava no último ano do mestrado. No ano seguinte (em apenas um ano) obteria o doutorado.

“Esse problema é muito complexo. São tantas variáveis, possibilidades, que é preciso construir uma nova teoria. O que foi feito até agora não é suficiente para resolvê-lo e essa é a beleza: esse problema obriga a desenvolver novas matemáticas.”

Você tem uma resposta final?, pergunto.

“Na matemática nunca há uma resposta final”, responde ele. “Num problema como este há sempre coisas novas; não é que esteja sozinho, isolado, este é um problema macro.”

E me convida a pensar no sangue que circula pelo meu corpo como um fenômenobet7 com apptransporte.

“Você está interessadobet7 com appfortificações? Você está interessadobet7 com appsangue? Dependendo do problema, existem respostas diferentes.”

É assim que entendo o que ele quer dizer quando afirma que “nunca há uma resposta final”: embora possa haver soluções para contextos específicos e necessidades concretas, não será a resposta definitiva para tudo o que o conceitobet7 com apptransporte ótimo pode implicar.

E suas aplicações parecem tão vastas quanto o próprio céu.

Entre nuvens

E assim, sem ir muito longe, Figalli me conta sobre as aplicações na meteorologia.

“Do pontobet7 com appvista teórico, o movimento das nuvens pode ser entendido como um problemabet7 com apptransporte ótimo: as nuvens são feitasbet7 com apppartículasbet7 com appágua que se movem à medida que elas o fazem.”

As técnicas que foram desenvolvidas no estudo do transporte ótimo podem ajudar a analisar a evolução das nuvens.

“Como fazer a ligação entre essas pequenas partículasbet7 com appágua que se movem com essas grandes nuvens? Como deduzir a pressão, a velocidade com que viajam? Como você conecta esta descrição microscópica com esta descrição macroscópica? Como você pode traçar a rota? Essa é uma questão matemática.”

E há um princípio básico: “A natureza quer ser eficiente: gastar o mínimobet7 com appenergia para fazer o que tembet7 com appfazer e, por essa razão, o transporte ótimo e a natureza funcionam bem juntos”.

Mas também funciona bembet7 com appoutros contextos. Pensemosbet7 com apptecnologia:bet7 com appvezbet7 com apppartículasbet7 com appágua, imagine pixels, e,bet7 com appvezbet7 com appnuvens, pensebet7 com appfotos.

Nos computadores

No aprendizadobet7 com appmáquina, ramo da inteligência artificial, o objetivo é treinar programasbet7 com appcomputador para executar tarefas específicas. Uma delas é o reconhecimentobet7 com appimagens.

Imagine que no seu computador você tem uma coleçãobet7 com appfotosbet7 com appanimais – há cachorros, gatos, elefantes, vacas – e recebe uma nova imagembet7 com appum animal que você não sabe o que é.

“Preciso comparar imagens, como posso fazer isso? O transporte ótimo pode fazer isso por você”, diz Figalli.

“Quero transportar os pixels, ou o que compõe aquela nova foto, para outra imagem e ver quanto custa esse processo. Se for muito pouco é porque a imagembet7 com appquestão é semelhante àbet7 com appreferência. É muito provável que a minha foto sejabet7 com appum cachorro, porque é muito parecida com a que já existebet7 com appum cachorro.”

“Mas se o transporte custa muito, significa que a imagem era muito diferente da imagembet7 com appum cachorro. Portanto, deve representar algo diferente.”

“O metaprincípio é que o transporte ótimo é uma maneira muito boabet7 com appcomparar imagens, objetos e, uma vez feito isso, pode ser usado para treinar uma redebet7 com appinteligência artificial.”

E voltamos ao ponto da beleza.

“Você vê?”, o professor me diz com um sorriso.

“A matemática não se importa se o que você transporta é um objeto concreto ou abstrato. Pode ser materialbet7 com appconstrução, pão, pessoas indo trabalhar, uma imagem, um pixel. É sempre um objeto a partir do qual tiramos modelos, fazemos fórmulas, vira abstrato e você faz o que quiser. Você sempre tem novas aplicações.”

Nabet7 com appvida

É assim que o problema cuja formulação remonta ao século XVIII está presentebet7 com appnossas vidas.

Pense por um momentobet7 com appquando você se muda, diz Matteo Bonforte, professor da Universidade Autônomabet7 com appMadrid e membro do Institutobet7 com appCiências Matemáticas da Espanha.

“Você tem que mudar as coisasbet7 com appuma casa para outra e tem uma van ou um caminhão. Como colocar os seus pertences no caminhão da melhor forma, para que custe o mínimo possível: menos viagens, menos esforço para os encarregados?”

Para Bonforte, é fundamental continuar investigando problemas como o transporte ótimo.

“Alessio Figalli é uma dessas mentes maravilhosas das quais existe uma por geração.”

“É muito importante que matemáticos da primeira fila como ele, os top-top-top, dediquem-se a esses problemas, porque eles conseguem ver coisas que ‘os mortais comuns não vêem’, criam conexões entre coisas que parecem muito diferentes, mas que, com as lentes apropriadas, no fim, observa-se que o mecanismo subjacente, o princípio básico, é o mesmo e os une.”

Ele destaca que Figalli tem conseguido resolver problemas que estavambet7 com appaberto há muitos anos, o que faz com que a teoria desenvolvida seja aplicável a “problemas da vida real”.

“É fundamental que essas grandes figuras da matemática lidem com esses problemas porque eles também dão um impulso a toda a comunidade: muitos pesquisadores ‘entram na onda’, o problema vira ‘moda’ e isso gera um avanço no conhecimento espetacular, sempre pelo motivobet7 com appsermos animais sociais.”