O que é o teoremabetboo güncelBayes, regra essencial da informática criada para 'provar milagres':betboo güncel

betboo güncel P(A|B) = (P(B|A)P(A))/P(B)

Certamente a frase acima não é a maneira mais comum nem a mais clarabetboo günceliniciar uma reportagem. É disso, no entanto, que vamos falar aqui. Algo que, como diz o título deste texto, está ligado à informática e a milagres.

Trata-se do teoremabetboo güncelBayes. Ainda que muitosbetboo güncelnós não tenhamos ouvido falar dele, as estatísticas bayesianas permearam tudo, da física - com interpretações bayesianas da mecânica quântica e defesas bayesianas das teoriasbetboo güncelcordas e do multiverso - às pesquisas sobre câncer e covid, passando por ecologia, filosofia, neurologia, psicologia, além da informática.

Há até cientistas cognitivos que consideraram que nossos cérebros incorporam algoritmos bayesianos ao perceber, deliberar e tomar decisões. Apaixonados pelo teorema dizem que, se adotarmos o raciocínio bayesiano consciente (mais além do processamento bayesiano inconsciente, que nosso cérebro supostamente emprega), o mundo seria melhor.

Diante disso tudo, vale a pena saber um pouco sobre essa fórmula com que começamos este texto e seu autor.

"Thomas Bayes foi um ministro presbiteriano no século 18", disse à BBC Bertsch McGrayne, autora do livro A Teoria que Nunca Morreu.

"Ele foi partebetboo günceluma geração que não pôde frequentar as universidadesbetboo güncelOxford ou Cambridge, as principais universidades inglesas da época, porque ele não era da Igreja da Inglaterra."

"Isso foi uma sorte para Bayes, porque ele foi para o norte da Escócia, que era presbiteriana e tinha uma universidade muito melhorbetboo güncelEdimburgo na época. Ali, ele estudou teologia, como seu padre, e matemática, que era seu verdadeiro interesse, e se tornou um matemático aficionado."

Bayes conseguiu mesclar seus dois interesses, escreveu ao menos um livro sobre matemática e passou grande partebetboo güncelseu tempo estudando as obrasbetboo günceloutros matemáticos e teólogos. E, assim, começou a desenvolver uma ideia.

Como nasceu a ideia

"Foi durante uma grande polêmica religiosa sobre se era possível usar a evidência do mundo natural para demonstrar que Deus existe", explica McGrayne.

Um dos que participaram no debate foi o filósofo David Hume, que publicou,betboo güncel1748, o até hoje influente livro Investigação sobre o Conhecimento Humano, questionando, entre outras coisas, a existênciabetboo güncelmilagres.

Segundo Hume, a probabilidadebetboo güncelque as pessoas tivessem afirmado incorretamente que haviam visto a ressurreiçãobetboo güncelJesus superavabetboo güncelmuito a probabilidadebetboo güncelque o fato tivesse ocorrido.

"Um milagre é uma violação das leis da natureza; e, como uma experiência firme e inalterável estabeleceu essas leis, a prova contra um milagre, pela mesma natureza do fato, é tão completa como se pode imaginar que qualquer argumento baseado na experiência o seja", escreveu o filósofo.

Isso não caiu bem ao reverendo e, querendo demonstrar que Hume estava equivocado, começou a tratarbetboo güncelquantificar a probabilidadebetboo güncelum evento imaginando-se situações como a seguinte:

Imagine que estejabetboo günceluma casa e atrásbetboo güncelvocê esteja uma mesa. Alguém lança uma bola que cai sobre essa mesa. Mas, sem olhar, você não tem como saber exatamente onde.

Então, você pede a essa pessoa que jogue outra bola e lhe diga se ela caiu à direita ou à esquerda da primeira. Se caiu à direita, é mais provável que a primeira tenha sido no lado esquerdo da mesa, pois você supõe que haja mais espaço nesse lado para a segunda bola ter caído.

A cada nova bola que é lançada, você pode atualizarbetboo güncelconjectura e ir precisando a localização da original. De maneira semelhante, pensou Bayes, os diversos testemunhos da ressurreiçãobetboo güncelCristo indicavam que o acontecimento não podia ser descartado da forma com que Hume afirmara.

"Ocorreu a ele um teoremabetboo günceluma linha realmente simples, que serve para trabalhar com dados incompletos e disse que tudo bem começar com uma ideia pela metade sobre uma situação, contanto que você modifique implacavelmente suas ideias iniciais cada vez que apareça uma nova informação", assinalou McGrayne. "Ele nos deu um raciocínio matemático para situações altamente incertas."

A rejeição

Bayes não publicou seu teorema, mas um amigo seu, Richard Price, um matemático aficionado, o desenvolveu e,betboo güncel1767, publicou Sobre a Importância do Cristianismo, suas Evidências e as Objeções que lhe Foram Feitas,betboo güncelque usou as ideiasbetboo güncelBayes para desafiar o argumentobetboo güncelHume.

"O ponto probabilístico básico"betboo güncelPrice, diz o historiador e estatístico Stephen Stiglerbetboo güncelseu artigo O Verdadeiro Título do Ensaiobetboo güncelBayes, "foi que Hume subestimou o impactobetboo güncelque havia vários testemunhos independentesbetboo güncelum milagre, e os resultadosbetboo güncelBayes mostraram como a multiplicaçãobetboo güncelevidências, inclusive as falíveis, poderia fortalecer a grande improbabilidadebetboo güncelum acontecimento e estabelecê-lo como um fato".

Não foi suficiente para Price provar a existência dos milagres, mas ele deu visibilidade a algo quebetboo günceloutra forma teria ficado oculto entre os papeisbetboo güncelBayes, que nessa época já havia morrido.

O teorema caiu no esquecimento até que o ilustre matemático francês Pierre Simon Laplace formalizou a visãobetboo güncelBayes e mostrou claramente como se podia aplicá-la no início do século 19.

A partirbetboo güncelentão, entrou e saiubetboo güncelmoda. Foi aplicadobetboo günceluma ciência atrás da outra apenas para logo ser condenado por ser vago, subjetivo e pouco científico. Converteu-se, então, no pomo da discórdia entre campos rivaisbetboo güncelmatemáticos antesbetboo günceldesfrutarbetboo güncelum renascimento nos últimos anos.

Por que o teorema voltou?

Lembre-se que o enfoque bayesiano diz que você pode começar com uma estimativa subjetivabetboo günceluma probabilidade, qualquer probabilidade, independentementebetboo güncelhaver algum dado.

Qual a probabilidadebetboo güncelque Deus exista? O novo coronavírus sofrerá alguma mutação que inutilize as vacinas? Qual é a possibilidadebetboo günceluma guerra nuclear antesbetboo güncel1ºbetboo günceljaneirobetboo güncel2030?

Tendo começado com aquilo que é pouco mais que uma suposição, usamos a regrabetboo güncelBayes para revisar nossa opinião à medida que chegam novos dados. John Stuart Mill, o filósofo e economista político britânico do século 19, chamou o teoremabetboo güncel"a ignorância cunhada na ciência".

Durante muito tempo, o enfoque bayesiano foi tabu nas estatísticas convencionais, mas não morreu. Ao longo das décadas, pessoas inteligentes encontraram maneiras inteligentesbetboo güncelaplicá-lo.

Um caso surpreendente: o teoremabetboo güncelBayes foi utilizado por Alan Turing enquanto ele trabalhava combetboo güncelequipe decifrando o código Enigma usado pelos submarinos alemães, os U-Boot, durante a Segunda Guerra Mundial.

"Nesse momento, os submarinos saíam da França e recebiam ordens por rádio sobre aonde ir e o que fazer, e essas ordens erambetboo günceluma linguagem codificada chamada Enigma. E a frota alemã fez esse código tão complicado que ninguém no Reino Unido nem na Alemanha acreditavam que os britânicos pudessem decifrá-lo", lembra McGrayne.

Turing, porém, estava determinado a fazê-lo, aproveitando tudo que pudesse. "Eles conheciam a organização geralbetboo günceluma oraçãobetboo güncelalemão. Perceberam que usavam a palavra ein (1betboo güncelalemão)betboo güncelquase todas as mensagens, assim que houvesse três letras. Essa foi uma pista. Assim continuaram, adicionando mais e mais dados."

Turing e seus colegas criaram um sistema bayesiano para adivinhar um conjuntobetboo güncelletrasbetboo günceluma mensagem do Enigma, medirbetboo güncelconfiança na validade dessas conjecturas usando métodos bayesianos para avaliar as probabilidades e agregar mais pistas à medida que chegavam. Com o tempo, puderam ler as mensagens."

Quando os fatos mudam...

Assim, o teorema foi utilizado por muitas outras pessoas. Uma vez que chegaram os computadores, seu uso disparou.

Para dar uma ideiabetboo güncelcomo ele funciona, responda a esta pergunta: se você obtiver um resultado positivobetboo güncelum testebetboo güncelcovid-19 que só resultabetboo güncelfalso positivo uma vezbetboo güncelcada 1 mil, qual é a probabilidadebetboo güncelque realmente tenha o coronavírus?

Pensoubetboo güncel99,9%? Na verdade, a resposta correta é que você não tem informação suficiente para saber. É aí que entra o teoremabetboo güncelBayes.

A notação matemática do teorema, reproduzida no início desta reportagem, parece complicada. Mas é mais fácilbetboo güncelentendê-la com um exemplo do que decifrando o significadobetboo günceltodos aqueles símbolos.

Imagine que você se submete a um exame para detectar uma possível enfermidade. O exame é incrivelmente preciso: se a pessoa tem a doença, ele dará a resposta corretabetboo güncel99% dos casos. Se não tiver, também. Mas a enfermidadebetboo güncelquestão é muito rara; somente uma pessoabetboo güncelcada 10 mil sofre dessa doença. Isso é conhecido comobetboo güncel"probabilidade prévia": o índice na população.

Agora imagine que façam o examebetboo güncel1 milhãobetboo güncelpessoas. Cem pessoas têm a enfermidade, e o teste identifica corretamente 99 delas. Existem 999.900 pessoas sem a doença, e a prova identifica corretamente 989.901 delas.

Isso significa, no entanto, que o exame, apesarbetboo günceldar a resposta corretabetboo güncel99% dos casos, informou a 9.999 pessoas que elas têm a doença, quando na realidade elas não têm.

Então, se você obtém um resultado positivo, neste caso,betboo güncelprobabilidadebetboo güncelter a enfermidade ébetboo güncel99betboo güncel10.098, ou seja, pouco menosbetboo güncel1%. Sem o enfoque bayesiano, o resultado inicial assustaria muitas pessoas e as levaria a procedimentos médicos intrusivos e potencialmente perigosos devido a um diagnóstico equivocado.

Sem se conhecer a probabilidade prévia, não se sabe quão provável um resultado é falso ou verdadeiro.

Esse não é um problema hipotético. Na medicina, por exemplo, uma revisãobetboo güncelcasos realizadabetboo güncel2016 identificou que 60% das mulheres que haviam feito mamografias anualmente durante dez anos tiveram ao menos um resultado falso positivo.

Nos tribunaisbetboo günceljustiça, uma falha conhecida como a "falácia do fiscal", que pode condenar inocentes, também depende do teorema. E essa é somente a ponta do iceberg. Pesquisadores utilizam a estatística bayesiana para lidar com problemasbetboo güncelincrível complexidade.

O raciocínio bayesiano, combinado com a potência computacional avançada, revolucionou a buscabetboo güncelplanetas que orbitam estrelas distantes. As estatísticas bayesianas contribuíram para reduzir a idade do Universo, que no final da décadabetboo güncel1990 era calculado como tendo entre 8 bilhões e 15 bilhõesbetboo güncelanos. Agora foi concluído com certa confiança que ele tem 13,8 bilhõesbetboo güncelanos.

"Hojebetboo günceldia, ele é utilizado na genética, para detectar diferenças sutis no DNA e nas proteínas, assim como para proteger a vida silvestre, fazer estudos cerebrais, traduzir idiomas estrangeiros…", enumera a autorabetboo güncelA Teoria que Nunca Morreu. "Ele foi embutido na informática, no aprendizado automático, na inteligência artificial."

"Pode ser que não seja exatamente como o fez Bayes, mas ele foi modernizado e é incrivelmente útil, estábetboo günceltoda parte", afirmou McGrayne na entrevista com a BBC. Ela concluiu com uma citação já atribuída aos economistas John Maynard Keynes e Paul Samuelson, assim como ao premiê britânico Winston Churchill e outros, para resumir a essência do teoremabetboo güncelBayes: "Quando os fatos mudam, eu mudobetboo güncelopinião. Você faz o quê?"

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