'1 − 1 + 1 − 1 +...', a curiosa explicaçãodar pra viver de apostas esportivasmatemático sobre como Deus criou o mundo:dar pra viver de apostas esportivas

A matemática poderia explicar o significado da vida, do universo edar pra viver de apostas esportivastodo o resto?

Vai saber. Mas sempre vale tentar.

Uma das tentativasdar pra viver de apostas esportivasdemonstrar a probabilidadedar pra viver de apostas esportivasalgo tão desconcertante como o iníciodar pra viver de apostas esportivastudo foi com algo que está representado como você vê na imagem acima.

Com ∑, ∞ e vários n pode parecer um pouco intimidador.

Mas tudo isso pode ser representadodar pra viver de apostas esportivasoutra forma: 1 − 1 + 1 − 1 +…

São operações simples, mas se as repetirmos ao infinito, tornam-se uma soma que ocupou os maiores matemáticos desde o século 18.

A grande questão era: qual é o resultado dessa soma infinita?

Uma resposta intuitivamente óbvia é que não há resposta: se continuar infinitamente, se alterará entre 0 e 1 sem nunca chegar a valor único.

No entanto, essa é apenas uma das 4 opções consideradas ao longo do tempo.

E talvez a mais surpreendente seja que a que mais convenceu o primeiro matemático a chamar a atenção para este quebra-cabeça conhecido como série Grandi.

O instigador

Luigi Guido Grandi (1671 - 1742) foi um padre, filósofo, matemático e engenheiro nascidodar pra viver de apostas esportivasCremona, hoje na Itália.

Seu interesse pela matemática demorou a surgir, mas com seu primeiro livro, Geometrica divinatio Vivianeorum problematum, publicadodar pra viver de apostas esportivas1699, ele ganhou reconhecimento no seu edar pra viver de apostas esportivasoutros países.

Sua reputação o levaria a virar,dar pra viver de apostas esportivas1707, o matemático da corte do Grão-Duque da Toscana, Cosme 3ºdar pra viver de apostas esportivasMedici, e no cargo foi responsável por importantes projetosdar pra viver de apostas esportivasengenharia, incluindo a drenagem do Valedar pra viver de apostas esportivasChianna.

Também colaborou na publicação da primeira edição das obrasdar pra viver de apostas esportivasGalileu Galilei (1718), publicou uma versão italiana dos Elementosdar pra viver de apostas esportivasEuclides (1731), aconselhou o Papa Clemente sobre a reforma do calendário e introduziu na Itália as ideiasdar pra viver de apostas esportivasGottfried Leibniz sobre cálculo.

Admirado também no exterior, tornou-se membro da prestigiada Royal Society of Londondar pra viver de apostas esportivas1709, depoisdar pra viver de apostas esportivasIsaac Newton publicar seu trabalho sobre teoria musical.

Umadar pra viver de apostas esportivassuas obras mais admiradas foi o estudo da rosa polar, uma famíliadar pra viver de apostas esportivascurvas que lembram flores, que chamou de rhodoneas (do grego rhodon, rosa),dar pra viver de apostas esportivasseu livro Flores Geometrici (1725).

Mas foi uma outra obradar pra viver de apostas esportivasque despertou não só o interessedar pra viver de apostas esportivasseus pares, mas também uma acalorada polêmicadar pra viver de apostas esportivastorno da série que leva seu nome.

0, 1, 1/2

O livro, publicadodar pra viver de apostas esportivas1703 e com o títulodar pra viver de apostas esportivasQuadratura do Círculo e da Hipérbole, continha um resultado que chamou bastante atenção.

Grandi estudou aquela soma infinitadar pra viver de apostas esportivas1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

E observou que adicionando parênteses, chegava-se a resultados diferentes.

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1)... resultavadar pra viver de apostas esportivas0 + 0 + 0..., que é igual a 0.

Mas se fosse escrito assim: 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1)... então a soma seria 1 + 0 + 0 + 0..., o que daria 1.

Isso por si só já era surpreendente.

Mais surpreendente ainda foi ele afirmar que a somadar pra viver de apostas esportivasinfinitos 0s é igual a 1/2.

dar pra viver de apostas esportivas Grandi preferiu explicar esse resultado com uma paráboladar pra viver de apostas esportivasque imaginava dois irmãos que herdaram dos pais uma joia valiosa.

Eles foram proibidosdar pra viver de apostas esportivasvendê-la e dividi-la à metade destruiria seu valor.

Os irmãos concordaram que alternariam a propriedade da joia, trocando todo diadar pra viver de apostas esportivasAno Novo.

Supondo que o acordo continuasse indefinidamente, então, do pontodar pra viver de apostas esportivasvistadar pra viver de apostas esportivascada irmão, a propriedade da joia pode ser representada pela série

1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

Assim, cada irmão possui a joia pela metade do tempo, então o valor desta série seria 1/2.

Você pode ficar surpreso, mas vários matemáticos relevantes da época concordaram que essa era a resposta.

O renomado Leibniz chegou à mesma conclusão por outros métodos e declarou que 1/2 era a resposta que lhe parecia correta, embora reconhecesse que o argumento era mais "metafísico do que matemático".

O suíço Leonhard Euler, um dos maiores e mais prolíficos matemáticosdar pra viver de apostas esportivastodos os tempos, fez seus próprios cálculos e escreveudar pra viver de apostas esportivas1760:

“Não pode restar dúvidadar pra viver de apostas esportivasque,dar pra viver de apostas esportivasfato, a série 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + etc. e a fração 1/2 são quantidades equivalentes e que é sempre permitido substituir uma pela outra sem erro."

Tal como eles, outros matemáticosdar pra viver de apostas esportivastoda a Europa discutiram a série infinita, chegando a suas próprias conclusões.

Mas um deles,dar pra viver de apostas esportivasparticular, não gostou muito das ideiasdar pra viver de apostas esportivasGrandi.

Do nada a tudo

Alessandro Marchetti (1633 - 1714) era o professordar pra viver de apostas esportivasmatemática na Universidadedar pra viver de apostas esportivasPisa e ressentiu-se da fama internacionaldar pra viver de apostas esportivasGrandi.

Tentando desacreditá-lo, criticou duramente seu livro.

Em resposta, Grandi publicou uma segunda ediçãodar pra viver de apostas esportivasQuadratura...dar pra viver de apostas esportivas1710.

Mas desta vez ele foi autorizado a incluir um comentário que os censores haviam exigido que fosse removido da versão anterior, condição com a qual ele concordou, não sem relutância.

Era uma afirmação ainda mais surpreendente do que os resultados que ele tinha obtido.

Sua reflexão foidar pra viver de apostas esportivasque ao se adicionar parênteses à expressão 1 − 1 + 1 − 1 + · · · era possível obter,dar pra viver de apostas esportivasmaneiras diferentes, 1 ou 0, “então a ideiadar pra viver de apostas esportivascriação ex nihilo era perfeitamente plausível”.

A criação ex nihilo é a criação a partir do nada.

Além disso, se uma quantidade finita podia ser obtida a partirdar pra viver de apostas esportivasuma soma infinitamente prolongadadar pra viver de apostas esportivaszeros, era necessário “reconhecer aquele poder infinito”, uma força que mesmo “multiplicando o quedar pra viver de apostas esportivassi não é nada, transforma-odar pra viver de apostas esportivasalgo, da mesma forma que, dividindo uma magnitude finita, força-a a degenerardar pra viver de apostas esportivasnada."

E tinha sido “pelo poder infinito do Deus Criador que todas as coisas foram feitas do nada, e todas as coisas podem ser reduzidas ao nada”.

Assim, Grandi parecia ter chegado a uma prova matemáticadar pra viver de apostas esportivasque Deus havia criado tudo do nada.

É claro que isso serviu para jogar lenha na fogueira: Marchetti publicou então um ataque a essa segunda ediçãodar pra viver de apostas esportivas1711, ao qual Grandi respondeu com outro artigodar pra viver de apostas esportivas1712.

A polêmica continuou até a mortedar pra viver de apostas esportivasMarchetti,dar pra viver de apostas esportivas1714.

O interesse pela sériedar pra viver de apostas esportivasGrandi, no entanto, persistiu.

Embora seus argumentos não resistam ao escrutínio matemático moderno, existe um marco para somas infinitasdar pra viver de apostas esportivasque a sériedar pra viver de apostas esportivasGrandi é igual a 1/2.

É conhecida como somadar pra viver de apostas esportivasCesàro,dar pra viver de apostas esportivashomenagem ao matemático italiano Ernesto Cesàro, do final do século 19.

No entanto,segundo diversas fontes, a opinião geral dos matemáticos hoje é que o valor da sériedar pra viver de apostas esportivasGrandi não é 1, nem 0, nem 1/2: o resultado dessa soma infinita é nenhum.

Mas, se fosse algum, seria 1/2.