'1 − 1 + 1 − 1 +...', a curiosa explicaçãobwin 001 hibakódmatemático sobre como Deus criou o mundo:bwin 001 hibakód

A matemática poderia explicar o significado da vida, do universo ebwin 001 hibakódtodo o resto?

Vai saber. Mas sempre vale tentar.

Uma das tentativasbwin 001 hibakóddemonstrar a probabilidadebwin 001 hibakódalgo tão desconcertante como o iníciobwin 001 hibakódtudo foi com algo que está representado como você vê na imagem acima.

Com ∑, ∞ e vários n pode parecer um pouco intimidador.

Mas tudo isso pode ser representadobwin 001 hibakódoutra forma: 1 − 1 + 1 − 1 +…

São operações simples, mas se as repetirmos ao infinito, tornam-se uma soma que ocupou os maiores matemáticos desde o século 18.

A grande questão era: qual é o resultado dessa soma infinita?

Uma resposta intuitivamente óbvia é que não há resposta: se continuar infinitamente, se alterará entre 0 e 1 sem nunca chegar a valor único.

No entanto, essa é apenas uma das 4 opções consideradas ao longo do tempo.

E talvez a mais surpreendente seja que a que mais convenceu o primeiro matemático a chamar a atenção para este quebra-cabeça conhecido como série Grandi.

O instigador

Luigi Guido Grandi (1671 - 1742) foi um padre, filósofo, matemático e engenheiro nascidobwin 001 hibakódCremona, hoje na Itália.

Seu interesse pela matemática demorou a surgir, mas com seu primeiro livro, Geometrica divinatio Vivianeorum problematum, publicadobwin 001 hibakód1699, ele ganhou reconhecimento no seu ebwin 001 hibakódoutros países.

Sua reputação o levaria a virar,bwin 001 hibakód1707, o matemático da corte do Grão-Duque da Toscana, Cosme 3ºbwin 001 hibakódMedici, e no cargo foi responsável por importantes projetosbwin 001 hibakódengenharia, incluindo a drenagem do Valebwin 001 hibakódChianna.

Também colaborou na publicação da primeira edição das obrasbwin 001 hibakódGalileu Galilei (1718), publicou uma versão italiana dos Elementosbwin 001 hibakódEuclides (1731), aconselhou o Papa Clemente sobre a reforma do calendário e introduziu na Itália as ideiasbwin 001 hibakódGottfried Leibniz sobre cálculo.

Admirado também no exterior, tornou-se membro da prestigiada Royal Society of Londonbwin 001 hibakód1709, depoisbwin 001 hibakódIsaac Newton publicar seu trabalho sobre teoria musical.

Umabwin 001 hibakódsuas obras mais admiradas foi o estudo da rosa polar, uma famíliabwin 001 hibakódcurvas que lembram flores, que chamou de rhodoneas (do grego rhodon, rosa),bwin 001 hibakódseu livro Flores Geometrici (1725).

Mas foi uma outra obrabwin 001 hibakódque despertou não só o interessebwin 001 hibakódseus pares, mas também uma acalorada polêmicabwin 001 hibakódtorno da série que leva seu nome.

0, 1, 1/2

O livro, publicadobwin 001 hibakód1703 e com o títulobwin 001 hibakódQuadratura do Círculo e da Hipérbole, continha um resultado que chamou bastante atenção.

Grandi estudou aquela soma infinitabwin 001 hibakód1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

E observou que adicionando parênteses, chegava-se a resultados diferentes.

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1)... resultavabwin 001 hibakód0 + 0 + 0..., que é igual a 0.

Mas se fosse escrito assim: 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1)... então a soma seria 1 + 0 + 0 + 0..., o que daria 1.

Isso por si só já era surpreendente.

Mais surpreendente ainda foi ele afirmar que a somabwin 001 hibakódinfinitos 0s é igual a 1/2.

bwin 001 hibakód Grandi preferiu explicar esse resultado com uma parábolabwin 001 hibakódque imaginava dois irmãos que herdaram dos pais uma joia valiosa.

Eles foram proibidosbwin 001 hibakódvendê-la e dividi-la à metade destruiria seu valor.

Os irmãos concordaram que alternariam a propriedade da joia, trocando todo diabwin 001 hibakódAno Novo.

Supondo que o acordo continuasse indefinidamente, então, do pontobwin 001 hibakódvistabwin 001 hibakódcada irmão, a propriedade da joia pode ser representada pela série

1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

Assim, cada irmão possui a joia pela metade do tempo, então o valor desta série seria 1/2.

Você pode ficar surpreso, mas vários matemáticos relevantes da época concordaram que essa era a resposta.

O renomado Leibniz chegou à mesma conclusão por outros métodos e declarou que 1/2 era a resposta que lhe parecia correta, embora reconhecesse que o argumento era mais "metafísico do que matemático".

O suíço Leonhard Euler, um dos maiores e mais prolíficos matemáticosbwin 001 hibakódtodos os tempos, fez seus próprios cálculos e escreveubwin 001 hibakód1760:

“Não pode restar dúvidabwin 001 hibakódque,bwin 001 hibakódfato, a série 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + etc. e a fração 1/2 são quantidades equivalentes e que é sempre permitido substituir uma pela outra sem erro."

Tal como eles, outros matemáticosbwin 001 hibakódtoda a Europa discutiram a série infinita, chegando a suas próprias conclusões.

Mas um deles,bwin 001 hibakódparticular, não gostou muito das ideiasbwin 001 hibakódGrandi.

Do nada a tudo

Alessandro Marchetti (1633 - 1714) era o professorbwin 001 hibakódmatemática na Universidadebwin 001 hibakódPisa e ressentiu-se da fama internacionalbwin 001 hibakódGrandi.

Tentando desacreditá-lo, criticou duramente seu livro.

Em resposta, Grandi publicou uma segunda ediçãobwin 001 hibakódQuadratura...bwin 001 hibakód1710.

Mas desta vez ele foi autorizado a incluir um comentário que os censores haviam exigido que fosse removido da versão anterior, condição com a qual ele concordou, não sem relutância.

Era uma afirmação ainda mais surpreendente do que os resultados que ele tinha obtido.

Sua reflexão foibwin 001 hibakódque ao se adicionar parênteses à expressão 1 − 1 + 1 − 1 + · · · era possível obter,bwin 001 hibakódmaneiras diferentes, 1 ou 0, “então a ideiabwin 001 hibakódcriação ex nihilo era perfeitamente plausível”.

A criação ex nihilo é a criação a partir do nada.

Além disso, se uma quantidade finita podia ser obtida a partirbwin 001 hibakóduma soma infinitamente prolongadabwin 001 hibakódzeros, era necessário “reconhecer aquele poder infinito”, uma força que mesmo “multiplicando o quebwin 001 hibakódsi não é nada, transforma-obwin 001 hibakódalgo, da mesma forma que, dividindo uma magnitude finita, força-a a degenerarbwin 001 hibakódnada."

E tinha sido “pelo poder infinito do Deus Criador que todas as coisas foram feitas do nada, e todas as coisas podem ser reduzidas ao nada”.

Assim, Grandi parecia ter chegado a uma prova matemáticabwin 001 hibakódque Deus havia criado tudo do nada.

É claro que isso serviu para jogar lenha na fogueira: Marchetti publicou então um ataque a essa segunda ediçãobwin 001 hibakód1711, ao qual Grandi respondeu com outro artigobwin 001 hibakód1712.

A polêmica continuou até a mortebwin 001 hibakódMarchetti,bwin 001 hibakód1714.

O interesse pela sériebwin 001 hibakódGrandi, no entanto, persistiu.

Embora seus argumentos não resistam ao escrutínio matemático moderno, existe um marco para somas infinitasbwin 001 hibakódque a sériebwin 001 hibakódGrandi é igual a 1/2.

É conhecida como somabwin 001 hibakódCesàro,bwin 001 hibakódhomenagem ao matemático italiano Ernesto Cesàro, do final do século 19.

No entanto,segundo diversas fontes, a opinião geral dos matemáticos hoje é que o valor da sériebwin 001 hibakódGrandi não é 1, nem 0, nem 1/2: o resultado dessa soma infinita é nenhum.

Mas, se fosse algum, seria 1/2.